Periodische Funktion/Fourierkoeffizienten/Komplex und reell/Fakt

Es sei ${}T>0$ und sei ${}f\colon \mathbb {R} \rightarrow {\mathbb {C} }$ eine auf ${}[0,T]$ quadratintegrierbare ${}T$-periodische Funktion.

Dann besteht zwischen den reellen und den komplexen Fourierkoeffizienten von ${}f$ die Beziehungen

${}c_{0}={\frac {a_{0}}{2}}\,,$

${}c_{n}={\frac {1}{2}}{\left(a_{n}-{\mathrm {i} }b_{n}\right)}\,,$

${}c_{-n}={\frac {1}{2}}{\left(a_{n}+{\mathrm {i} }b_{n}\right)}\,,$

${}a_{0}=2c_{0}\,,$

${}a_{n}=c_{n}+c_{-n}\,,$

${}b_{n}={\mathrm {i} }{\left(c_{n}-c_{-n}\right)}\,.$

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen