Permutationen/Zyklendarstellung/Fakt/Beweis

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Beweis

Es sei die Fixpunktmenge von und es seien diejenigen Teilmengen von mit mindestens zwei Elementen derart, dass die Elemente aus jedem zyklisch vertauscht. Dann ist die disjunkte Vereinigung aus und den . Zu , , sei der Zykel auf , der auf die Identität ist und auf mit übereinstimmt. Wir behaupten

Um dies einzusehen, sei beliebig. Bei ist ein Fixpunkt für alle und daher kommt links und rechts wieder raus. Sei also kein Fixpunkt der Permutation. Dann gehört für genau ein . Für alle ist ein Fixpunkt von . Da ebenfalls zu gehört, ist auch ein Fixpunkt von für alle . Wendet man daher die rechte Seite auf an, so wird auf abgebildet bis man zu kommt. Dieses bildet auf ab und die folgenden bilden auf ab, so dass die rechte Seite insgesamt auf schickt und daher mit übereinstimmt.

Zur bewiesenen Aussage