Permutationsgruppe/Natürliche lineare Operation/Beispiel

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Die symmetrische Gruppe ist die Gruppe der Permutationen auf der Menge , also

mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Das neutrale Element ist die Identität. Eine Permutation wird typischerweise als Wertetabelle geschrieben,

ist eine Gruppe mit Elementen.

Die Permutationsgruppe operiert als Gruppe von linearen Automorphismen auf wie folgt: Der -te Basisvektor wird auf geschickt, also . Dies definiert nach Fakt einen linearen Automorphismus

den wir ebenfalls mit bezeichnen. In Matrizenschreibweise wird diese lineare Abbildung durch diejenige Matrix beschrieben, bei der in der -ten Spalte in der -ten Zeile eine steht, und sonst überall . Eine solche Matrix nennt man eine Permutationsmatrix. Wenn diejenige Matrix bezeichnet, die genau an der Stelle (-te Zeile, -te Spalte) eine und sonst überall eine als Eintrag besitzt, so ist die zu gehörende Permutationsmatrix gleich

Diese Matrix ist in gewissem Sinn der Graph der Permutation.

Die Menge der Permutationsmatrizen bilden eine endliche Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe , und die Zuordnung ist ein Gruppenisomorphismus zwischen der Permutationsgruppe und dieser endlichen Untergruppe. Nach Beispiel operiert die Permutationsgruppe linear auf dem .