Permutationsgruppe/Natürliche lineare Operation/Beispiel

Die symmetrische Gruppe ${}S_{n}$ ist die Gruppe der Permutationen auf der Menge ${}I={\{1,\ldots ,n\}}$, also

${}S_{n}={\left\{\sigma :I\rightarrow I\mid \sigma {\text{ Bijektion}}\right\}}\,$

mit der Hintereinanderschaltung als Verknüpfung. Das neutrale Element ist die Identität. Eine Permutation wird typischerweise als Wertetabelle geschrieben,

${\begin{pmatrix}1&\ldots &n\\\sigma (1)&\ldots &\sigma (n)\end{pmatrix}}.$

${}S_{n}$ ist eine Gruppe mit ${}n!$ Elementen.

Die Permutationsgruppe ${}S_{n}$ operiert als Gruppe von linearen Automorphismen auf ${}K^{n}$ wie folgt: Der ${}i$-te Basisvektor ${}e_{i}$ wird auf ${}e_{\sigma (i)}$ geschickt, also ${}e_{i}\mapsto e_{\sigma (i)}$. Dies definiert nach Fakt einen linearen Automorphismus

$\sigma \colon K^{n}\longrightarrow K^{n},$

den wir ebenfalls mit ${}\sigma$ bezeichnen. In Matrizenschreibweise wird diese lineare Abbildung durch diejenige Matrix beschrieben, bei der in der ${}i$-ten Spalte in der ${}\sigma (i)$-ten Zeile eine ${}1$ steht, und sonst überall ${}0$. Eine solche Matrix nennt man eine Permutationsmatrix. Wenn ${}E_{ij}$ diejenige Matrix bezeichnet, die genau an der Stelle ${}ij$ (${}i$-te Zeile, ${}j$-te Spalte) eine ${}1$ und sonst überall eine ${}0$ als Eintrag besitzt, so ist die zu ${}\sigma$ gehörende Permutationsmatrix gleich

${}E_{\sigma }=\sum _{j=1}^{n}E_{\sigma (j)j}\,.$

Diese Matrix ist in gewissem Sinn der Graph der Permutation.

Die Menge der Permutationsmatrizen bilden eine endliche Untergruppe der allgemeinen linearen Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(K\right)}$, und die Zuordnung ${}\sigma \mapsto E_{\sigma }$ ist ein Gruppenisomorphismus zwischen der Permutationsgruppe ${}S_{n}$ und dieser endlichen Untergruppe. Nach Beispiel operiert die Permutationsgruppe ${}S_{n}$ linear auf dem ${}K^{n}$.