Allgemeine lineare Gruppe/Untergruppe/Natürliche Operation/Beispiel

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Es sei ein -Vektorraum über einem Körper . Die natürliche lineare Operation der allgemeinen linearen Gruppe auf , also die Abbildung

induziert für jede Untergruppe eine lineare Operation

Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der sind die spezielle lineare Gruppe (dazu muss endlichdimensional sein) und alle endlichen Gruppen (wenn die Dimension von hinreichend groß ist). Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine Bilinearform (beispielsweise ein Skalarprodukt bei oder ), so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die orthogonale Gruppe und die eigentliche Isometriegruppe .