Allgemeine lineare Gruppe/Untergruppe/Natürliche Operation/Beispiel

Es sei ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum über einem Körper ${}K$. Die natürliche lineare Operation der allgemeinen linearen Gruppe ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ auf ${}V$, also die Abbildung

$\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v),$

induziert für jede Untergruppe ${}G\subseteq \operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ eine lineare Operation

$G\times V\longrightarrow V,\,(\varphi ,v)\longmapsto \varphi (v).$

Diese einfache Konstruktion beinhaltet eine Vielzahl von interessanten Operationen. Wichtige Untergruppen der ${}\operatorname {GL} _{}{\left(V\right)}$ sind die spezielle lineare Gruppe ${}\operatorname {SL} _{}{\left(V\right)}$ (dazu muss ${}V$ endlichdimensional sein) und alle endlichen Gruppen (wenn die Dimension von ${}V$ hinreichend groß ist). Wenn der Vektorraum weitere Strukturen trägt, beispielsweise eine Bilinearform (beispielsweise ein Skalarprodukt bei ${}K=\mathbb {R}$ oder ${}K={\mathbb {C} }$), so lassen sich weitere wichtige Untergruppen definieren, wie die orthogonale Gruppe ${}\operatorname {O} _{}{\left(V\right)}$ und die eigentliche Isometriegruppe ${}\operatorname {SO} _{}\,(V)$.