Permutationsgruppe/Operation auf Polynomring/Ungerade Invarianten/Fakt

Es sei $K$ ein Körper der Charakteristik $\ne 2$.

Dann gilt für die natürliche Operation der Permutationsgruppe $S_n$ auf dem Polynomring die Gleichheit

$K[X_1,\dots ,X_n{]}_{\mathrm{sgn}}^{S_n}=K[X_1,\dots ,X_n{]}^{S_n}\cdot \mathrm{△},$

wobei  $\mathrm{△}=\prod _{j<i}(X_i-X_j)$  die Vandermondesche Determinante ist.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen