Permutationsgruppe/Operation auf Polynomring/Ungerade Invarianten/Fakt/Beweis

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Beweis

Das Polynom hat offenbar die Eigenschaft, dass es signumsinvariant ist, dass sich also sein Vorzeichen bei einer ungeraden Permutation umkehrt. Hierzu muss man sich nur klar machen, dass sich bei einer Transposition das Vorzeichen um ändert. Dabei kann man sich sogar auf solche Transpositionen beschränken, die zwei Nachbarn und miteinander vertauschen. Dann wird aus dem Faktor der Faktor und alle anderen Faktoren werden allenfalls vertauscht. Insgesamt wird auf abgebildet.
Wir müssen also zeigen, dass jedes signumsinvariante Polynom ein Vielfaches von ist. Der andere Faktor ist dann automatisch invariant.

Für diese Teilerbeziehung genügt es wegen der Faktorialität von zu zeigen, dass ein Teiler von ist . Wir schreiben in den neuen Variablen als

Dann ist einerseits

und anderseits (da signumsinvariant ist)

Daraus folgt wegen , dass für gerade sein muss. Insbesondere ist . Also ist , wie behauptet.

Zur bewiesenen Aussage