Beweis
Das Polynom
hat offenbar die Eigenschaft, dass es signumsinvariant ist, dass sich also sein Vorzeichen bei einer ungeraden Permutation umkehrt. Hierzu muss man sich nur klar machen, dass sich bei einer
Transposition das Vorzeichen um
ändert. Dabei kann man sich sogar auf solche Transpositionen beschränken, die zwei Nachbarn
und
miteinander vertauschen. Dann wird aus dem Faktor
der Faktor
und alle anderen Faktoren werden allenfalls vertauscht. Insgesamt wird
auf
abgebildet.
Wir müssen also zeigen, dass jedes signumsinvariante Polynom
ein Vielfaches von
ist. Der andere Faktor ist dann automatisch invariant.
Für diese Teilerbeziehung genügt es wegen der
Faktorialität
von
zu zeigen, dass
ein Teiler von
ist
(
).
Wir schreiben
in den neuen Variablen
als
-

Dann ist einerseits
-

und anderseits
(da
signumsinvariant ist)
-

Daraus folgt wegen
,
dass für
gerade
sein muss. Insbesondere ist
.
Also ist
,
wie behauptet.