Permutationsgruppe/Operation auf Polynomring/Ungerade Invarianten/Fakt/Beweis

Beweis

Das Polynom ${}\triangle$ hat offenbar die Eigenschaft, dass es signumsinvariant ist, dass sich also sein Vorzeichen bei einer ungeraden Permutation umkehrt. Hierzu muss man sich nur klar machen, dass sich bei einer Transposition das Vorzeichen um ${}-1$ ändert. Dabei kann man sich sogar auf solche Transpositionen beschränken, die zwei Nachbarn ${}i$ und ${}i+1$ miteinander vertauschen. Dann wird aus dem Faktor ${}X_{i+1}-X_{i}$ der Faktor ${}X_{i}-X_{i+1}$ und alle anderen Faktoren werden allenfalls vertauscht. Insgesamt wird ${}\triangle$ auf ${}-\triangle$ abgebildet.
Wir müssen also zeigen, dass jedes signumsinvariante Polynom ${}F$ ein Vielfaches von ${}\triangle$ ist. Der andere Faktor ist dann automatisch invariant.

Für diese Teilerbeziehung genügt es wegen der Faktorialität von ${}K[V]$ zu zeigen, dass ${}X_{i}-X_{j}$ ein Teiler von ${}F$ ist (${}i\neq j$). Wir schreiben ${}F$ in den neuen Variablen ${}X_{k},k\neq i,j,X_{i}+X_{j},X_{i}-X_{j}$ als

${}F=\sum _{n=0}^{m}G_{n}{\left(X_{k},X_{i}+X_{j}\right)}{\left(X_{i}-X_{j}\right)}^{n}\,.$

Dann ist einerseits

$F(X_{i}\mapsto X_{j})=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}G_{n}{\left(X_{k},X_{i}+X_{j}\right)}{\left(X_{i}-X_{j}\right)}^{n}\,$

und anderseits (da ${}F$ signumsinvariant ist)

$F(X_{i}\mapsto X_{j})=-F=-\sum _{n=0}^{m}G_{n}{\left(X_{k},X_{i}+X_{j}\right)}{\left(X_{i}-X_{j}\right)}^{n}\,.$

Daraus folgt wegen ${}\operatorname {char} (K)\neq 2$, dass für ${}n$ gerade ${}G_{n}=0$ sein muss. Insbesondere ist ${}G_{0}=0$. Also ist ${}F=H{\left(X_{i}-X_{j}\right)}$, wie behauptet.

Zur bewiesenen Aussage