Permutationsgruppe S3/Untergruppen und Normalteiler/Beispiel

Wir betrachten die Permutationsgruppe ${}G=S_{3}$ zu einer dreielementigen Menge, d.h. ${}S_{3}$ besteht aus den bijektiven Abbildungen der Menge ${}\{1,2,3\}$ in sich. Die triviale Gruppe ${}\{\operatorname {id} \}$ und die ganze Gruppe sind Normalteiler. Die Teilmenge ${}H=\{\operatorname {id} \,,\varphi \}$, wobei ${}\varphi$ die Elemente ${}1$ und ${}2$ vertauscht und ${}3$ unverändert lässt, ist eine Untergruppe. Sie ist aber kein Normalteiler. Um dies zu zeigen, sei ${}\psi$ die Bijektion, die ${}1$ fest lässt und ${}2$ und ${}3$ vertauscht. Dieses ${}\psi$ ist zu sich selbst invers. Die Konjugation ${}\psi \varphi \psi ^{-1}=\psi \varphi \psi$ ist dann die Abbildung, die ${}1$ auf ${}3$, ${}2$ auf ${}2$ und ${}3$ auf ${}1$ schickt, und diese Bijektion gehört nicht zu ${}H$.