Permutationsmatrix/Zykel/C/Eigentheorie/Fakt/Beweis

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}M_{\rho }(v_{\zeta })&=M_{\rho }(\zeta ^{k-1}e_{i_{1}}+\zeta ^{k-2}e_{i_{2}}+\cdots +\zeta e_{i_{k-1}}+e_{i_{k}})\\&=\zeta ^{k-1}M_{\rho }(e_{i_{1}})+\zeta ^{k-2}M_{\rho }(e_{i_{2}})+\cdots +\zeta M_{\rho }(e_{i_{k-1}})+M_{\rho }(e_{i_{k}})\\&=\zeta ^{k-1}e_{i_{2}}+\zeta ^{k-2}e_{i_{3}}+\cdots +\zeta e_{i_{k}}+e_{i_{1}}\\&=e_{i_{1}}+\zeta ^{k-1}e_{i_{2}}+\zeta ^{k-2}e_{i_{3}}+\cdots +\zeta e_{i_{k}}\\&=\zeta (\zeta ^{k-1}e_{i_{1}}+\zeta ^{k-2}e_{i_{2}}+\cdots +\zeta e_{i_{k-1}}+e_{i_{k}})\\&=\zeta v_{\zeta }.\end{aligned}}$

Da es ${}k$ verschiedene ${}k$-te Einheitswurzeln in ${}{\mathbb {C} }$ gibt, sind diese Vektoren nach Fakt linear unabhängig und erzeugen einen ${}k$-dimensionalen Untervektorraum ${}U$ von ${}K^{n}$, und zwar gilt

${}U=\langle e_{i_{j}},\,j=1,\ldots ,k\rangle \,.$

Da die Vektoren ${}e_{i}$, ${}i\neq {i_{j}}$, Fixvektoren sind, bilden die ${}v_{\zeta }$ zusammen mit den ${}e_{i}$, ${}i\neq {i_{j}}$, eine Basis aus Eigenvektoren von ${}M_{\rho }$ und daher ist ${}M_{\rho }$ diagonalisierbar.

Zur bewiesenen Aussage