Permutationsmatrix/Zykel/C/Eigentheorie/Fakt

Zu einer Permutationsmatrix ${}M_{\rho }$ über ${}{\mathbb {C} }$ zu einem Zykel ${}\rho \in S_{n}$ mit ${}\rho :i_{1}\mapsto i_{2}\mapsto \ldots \mapsto i_{k}\mapsto i_{1}$

und einer ${}k$-ten Einheitswurzel ${}\zeta$ sind die Vektoren

${}v_{\zeta }:=\zeta ^{k-1}e_{i_{1}}+\zeta ^{k-2}e_{i_{2}}+\cdots +\zeta e_{i_{k-1}}+e_{i_{k}}\,$

Eigenvektoren von ${}M_{\rho }$ zum Eigenwert ${}\zeta$.

Insbesondere ist eine Permutationsmatrix zu einem Zykel über ${}{\mathbb {C} }$ diagonalisierbar.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen