Picard-Lindelöf/Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten/Bemerkung

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Es sei

eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auf dem und es sei eine Anfangsbedingung gegeben. Wir behaupten, dass die -te Picard-Lindelöf-Iteration gleich

ist, wobei die -fache Potenz der Matrix bezeichnet. Diese Aussage zeigen wir durch Induktion nach . Für steht rechts einfach die konstante Kurve . Sei die Aussage nun für schon bewiesen. Dann ist

und die Aussage ist auch für richtig. Diese Approximationen sind die Anfangsglieder in der „Exponentialreihe in dem Ausdruck“ . Man kann zeigen, dass diese Exponentialreihe auf konvergiert und in der Tat die Lösung des Anfangswertproblems ist (der Satz von Picard-Lindelöf sichert nur die Konvergenz auf einer Intervallumgebung).