Picard-Lindelöf/Lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten/Bemerkung

Es sei

$v^{\prime }=Mv$

eine lineare Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten auf dem ${ℝ}^n$ und es sei eine Anfangsbedingung  $v(0)=w$  gegeben. Wir behaupten, dass die $n$-te Picard-Lindelöf-Iteration gleich

${\phi }_n(t)=\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{M}^{\circ k}(w)t^k$

ist, wobei $M^{\circ k}$ die $k$-fache Potenz der Matrix bezeichnet. Diese Aussage zeigen wir durch Induktion nach $n$. Für  $n=0$  steht rechts einfach die konstante Kurve $w$. Es sei die Aussage nun für $n$ schon bewiesen. Dann ist

$\begin{array}{cc}{\phi }_{n+1}(t)& =w+{\int }_0^{t}M({\phi }_n(s))ds\\ & =w+{\int }_0^{t}M(\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{M}^{\circ k}(w)s^k)ds\\ & =w+\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{\int }_0^t{s}^{k}M(M^{\circ k}(w))ds\\ & =w+\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}{\int }_0^t{s}^k{M}^{\circ k+1}(w)ds\\ & =w+\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!}\frac{1}{(k+1)}{t}^{k+1}{M}^{\circ k+1}(w)\\ & =w+\sum _{k=0}^n\frac{1}{(k+1)!}{t}^{k+1}{M}^{\circ k+1}(w)\\ & =w+\sum _{\ell =1}^{n+1}\frac{1}{\ell !}{t}^{\ell }{M}^{\circ \ell }(w)\\ & =\sum _{\ell =0}^{n+1}\frac{1}{\ell !}{t}^{\ell }{M}^{\circ \ell }(w)\end{array}$

und die Aussage ist auch für $n+1$ richtig. Diese Approximationen sind die Anfangsglieder in der „Exponentialreihe in dem Ausdruck“ $tM$. Man kann zeigen, dass diese Exponentialreihe auf $ℝ$ konvergiert und in der Tat die Lösung des Anfangswertproblems ist (der Satz von Picard-Lindelöf sichert nur die Konvergenz auf einer Intervallumgebung).