Platte Funktion/exp -1 durch x/Taylor-Reihe/Beispiel

Wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto f(x),$

mit

${}f(x):={\begin{cases}0,\,{\text{ falls }}x\leq 0\,,\\e^{-{\frac {1}{x}}},\,{\text{ falls }}x>0\,.\end{cases}}\,$

Wir behaupten, dass diese Funktion unendlich oft differenzierbar ist, was nur im Nullpunkt nicht offensichtlich ist. Man zeigt zunächst durch Induktion, dass sämtliche Ableitungen von ${}e^{-{\frac {1}{x}}}$ (und der rechtsseitige Differenzenquotient im Nullpunkt) die Form ${}p{\left({\frac {1}{x}}\right)}e^{-{\frac {1}{x}}}$ mit gewissen Polynomen ${}p\in \mathbb {R} [Z]$ besitzen und dass davon der Limes für ${}x\rightarrow 0,\,x>0$ stets ${}0$ ist (siehe Aufgabe und Aufgabe.). Daher ist der (rechtsseitige) Limes für alle Ableitungen gleich ${}0$ und existiert. Alle Ableitungen am Nullpunkt haben also den Wert ${}0$ und daher ist die Taylor-Reihe im Nullpunkt die Nullreihe. Die Funktion ${}f$ ist aber in keiner Umgebung des Nullpunktes die Nullfunktion, da ${}e^{-{\frac {1}{x}}}>0$ ist.