Polynom/C/Nullstellen/Stetigkeit/Textabschnitt

Satz

Es sei

$P=X^n+c_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +c_2{X}^2+c_{1}X+c_0\in ℂ[X]$

ein normiertes Polynom und  $a\in ℂ$  eine Nullstelle von $P$ der Vielfachheit $m$.

Dann gibt es zu jedem  $ϵ>0$  ein  $\delta >0$  mit der Eigenschaft, dass jedes normierte Polynom $X^n+b_{n-1}{X}^{n-1}+\cdots +b_2{X}^2+b_{1}X+b_0$ mit  $|c_j-b_j|\le \delta$  für alle $j$ in der offenen Ballumgebung $U(a,ϵ)$ insgesamt $m$ Nullstellen (mit Vielfachheiten gerechnet) besitzt.

Beweis

Polynom/C/Nullstellen/Stetigkeit/Fakt/Beweis

$◻$

Wenn man $ϵ$ kleiner als die Hälfte des minimalen Abstandes zwischen verschiedenen Nullstellen $a_i$ von $P$ wählt, so gibt es auch ein $\delta$ derart, dass jedes normierte Polynom, dass die angegebene Koeffizientenbedingung erfüllt, in $U(a_i,ϵ)$ genau $k_i$ Nullstellen besitzt, wobei $k_i$ die Vielfachheit der Nullstelle $a_i$ in $P$ sei.