Polynom/Faktorzerlegung/Höhenvergleich/Fakt

Es sei ${}P=a_{d}T^{d}+\cdots +a_{1}T+a_{0}\in \mathbb {Q} [T]$ ein Polynom vom Grad ${}d$ mit einer Faktorzerlegung

${}P=a_{d}(T-x_{1})\cdots (T-x_{d})\,$

mit ${}x_{j}\in {\overline {\mathbb {Q} }}$.

Dann gelten für die absolute Höhe die Abschätzungen

${}2^{-d}\prod _{j=1}^{d}H(x_{j})\leq H(a_{0},\ldots ,a_{d})\leq 2^{d-1}\prod _{j=1}^{d}H(x_{j})\,.$

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