Polynom/X^3+X+1/Verschiedene Primzahlen/Aufgabe

1. Zeige, dass das Polynom ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} [X]$ irreduzibel ist.
2. Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$.
3. Bestimme die Primfaktorzerlegung von ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} /(31)[X]$.
4. Man finde eine positive Zahl ${}n$ derart, dass für alle Primzahlen ${}p$, die ${}n$ nicht teilen, der Faserring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ reduziert ist.
5. Bestimme, ob ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ ein Zahlbereich ist.

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