Polynom/X^3+X+1/Verschiedene Primzahlen/Aufgabe/Lösung

1. Beispielsweise besitzt ${}X^{3}+X+1$ in ${}\mathbb {Z} /(2)[X]$ keine Nullstelle und ist dort irreduzibel, daher ist es auch irreduziblel über ${}\mathbb {Z}$.
2. Es ist

   ${}X^{3}+X+1=(X-1){\left(X^{2}+X+2\right)}\,$

   in ${}\mathbb {Z} /(3)[X]$.

3. In ${}\mathbb {Z} /(31)[X]$ ist ${}3$ eine Nullstelle von ${}X^{3}+X+1$, deshalb ist

   ${}X^{3}+X+1=(X-3){\left(X^{2}+3X+10\right)}=(X-3)(X-14)(X-14)\,.$

4. Die Ableitung von ${}X^{3}+X+1$ ist ${}3X^{2}+1$. Zu dem von dem Polynom und seiner Ableitung erzeugten Ideal in ${}\mathbb {Z} [X]$ gehören

   ${}3{\left(X^{3}+X+1\right)}-X{\left(3X^{2}+1\right)}=2X+3\,.$

   Somit gehört auch

   ${}-2{\left(3X^{2}+1\right)}+3X{\left(2X+3\right)}=9X-2\,$

   und damit auch

   ${}5{\left(2X+3\right)}-{\left(9X-2\right)}=X+17\,$

   dazu. Damit gehört wiederum

   ${}-{\left(2X+3\right)}+2(X+17)=31\,$

   dazu. Dies bedeutet, dass für alle Primzahlen ${}p\neq 31$ das Polynom und seine Ableitung in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$ teilerfremd sind und daher der Faserring ${}\mathbb {Z} /(p)[X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ reduziert ist.

5. Nach Fakt und Teil (4) muss man nur noch für den Faserring zu ${}(31)$ überprüfen, ob die zugehörigen Lokalisierungen diskrete Bewertungsringe sind. Die Primideale oberhalb von ${}(31)$ sind nach Teil (3) gleich ${}(31,X-14)$ und ${}(31,X-3)$. In ${}\mathbb {Z} /(31)[X]$ gilt für die Ableitung

   ${}3X^{2}+1=3(X-14)(X-17)\,,$

   somit ist die Lokalisierung an ${}(31,X-3)$ ein diskreter Bewertungsring (mit ${}31$ als einer Ortsuniformisierenden). Wegen

   ${}14^{3}+14+1=31\cdot 89\,$

   ist ${}X-14$ ein Erzeuger von ${}(31,X-14)$ in der Lokalisierung an diesem Primideal und somit ist dies ebenfalls ein diskreter Bewertungsring. Daher ist ${}\mathbb {Z} [X]/{\left(X^{3}+X+1\right)}$ ein Zahlbereich.

Zur gelösten Aufgabe