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Polynom/X^3+X+1/Verschiedene Primzahlen/Aufgabe/Lösung

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  1. Beispielsweise besitzt in keine Nullstelle und ist dort irreduzibel, daher ist es auch irreduziblel über .
  2. Es ist

    in .

  3. In ist eine Nullstelle von , deshalb ist
  4. Die Ableitung von ist . Zu dem von dem Polynom und seiner Ableitung erzeugten Ideal in gehören

    Somit gehört auch

    und damit auch

    dazu. Damit gehört wiederum

    dazu. Dies bedeutet, dass für alle Primzahlen das Polynom und seine Ableitung in teilerfremd sind und daher der Faserring reduziert ist.

  5. Nach Fakt und Teil (4) muss man nur noch für den Faserring zu überprüfen, ob die zugehörigen Lokalisierungen diskrete Bewertungsringe sind. Die Primideale oberhalb von sind nach Teil (3) gleich und . In gilt für die Ableitung

    somit ist die Lokalisierung an ein diskreter Bewertungsring (mit als einer Ortsuniformisierenden). Wegen

    ist ein Erzeuger von in der Lokalisierung an diesem Primideal und somit ist dies ebenfalls ein diskreter Bewertungsring. Daher ist ein Zahlbereich.