Polynome/1/Resultantentest/Fakt/Beweis

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Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt unmittelbar aus der Faktorialität von , siehe Fakt. Wir machen den Ansatz

und

Die Eigenschaft (2) bedeutet, dass es Polynome und mit der angegebenen Gradbedingung gibt, die

erfüllen. Wenn man die hinter dieser Polynomgleichheit stehenden Koeffizientenbedingungen ausrechnet, so erhält man das lineare Gleichungssystem

Diese Gleichungen ergeben sich ebenfalls, wenn man die Matrixbedingung

zeilenweise auswertet. Die Polynomgleichung hat also eine nichttriviale Lösung genau dann, wenn es für die Matrix eine nichttrivialen Zeilenvektor gibt, dessen Produkt mit der Matrix ergibt. Eine solche Lösung gibt es aber nach Fakt genau dann, wenn die Determinante der Matrix gleich ist.