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Polynome/2/Komplex und reell/Jacobi-Determinante invertierbar/Konstant/Aufgabe/Lösung

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  1. Die partiellen Ableitungen zu sind auch Polynome und daher ist die Determinante der Jacobi-Matrix ebenfalls ein Polynom in zwei Variablen. Wir schreiben dieses Polynom als

    wobei die Polynome in sind und . Es sei nicht konstant. Dann ist entweder (i) oder (ii) und ist ein nichtkonstantes Polynom in . Im ersten Fall gibt es einen Wert derart, dass ist. Dann ist ein nichtkonstantes Polynom in . In beiden Fällen gibt es also eine Einsetzung, die zu einem nichtkonstanten Polynom in einer Variablen führt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es dann ein mit im Widerspruch zur Voraussetzung.

  2. Wir betrachten die reellen Polynome

    Die Jacobi-Matrix davon ist

    mit der Determinante

    Dies ist stets und insbesondere nirgendwo gleich . Die Determinante ist aber nicht konstant.