Polynome/2/Komplex und reell/Jacobi-Determinante invertierbar/Konstant/Aufgabe/Lösung
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- Die partiellen Ableitungen zu sind auch Polynome und daher ist die Determinante der Jacobi-Matrix ebenfalls ein Polynom in zwei Variablen. Wir schreiben dieses Polynom als
wobei die Polynome in sind und . Es sei nicht konstant. Dann ist entweder (i) oder (ii) und ist ein nichtkonstantes Polynom in . Im ersten Fall gibt es einen Wert derart, dass ist. Dann ist ein nichtkonstantes Polynom in . In beiden Fällen gibt es also eine Einsetzung, die zu einem nichtkonstanten Polynom in einer Variablen führt. Nach dem Fundamentalsatz der Algebra gibt es dann ein mit im Widerspruch zur Voraussetzung.
- Wir betrachten die reellen Polynome
Die Jacobi-Matrix davon ist
mit der Determinante
Dies ist stets und insbesondere nirgendwo gleich . Die Determinante ist aber nicht konstant.