Beweis
Die beiden Polynome haben auch aufgefasst in ![{\displaystyle {}K(X_{1},\ldots ,X_{n})[Y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/242f340eed6c1a272cc56a948b428273665878ec)
keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad. Nach
Fakt
ist daher die
Resultante
.
Die Resultante gehört zum Polynomring ![{\displaystyle {}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96607693c80a38f197b1443eb366df0a6bbef1c3)
. Es sei
ein Punkt derart, dass
und 
eine gemeinsame Nullstelle haben. Dann ist, wiederum nach
Fakt,
und da die Resultante mit dem Ringwechsel
-
![{\displaystyle \varphi _{P}\colon K[X_{1},\ldots ,X_{n}]\longrightarrow K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/219c45f385b20b9debf91f1f15ea2c59bca45dc7)
verträglich ist,
-
Also sind die Punkte 
, für die
und
eine gemeinsame Nullstelle haben, selbst Nullstelle der von 
verschiedenen Resultante, liegen also in einer echten abgeschlossenen Teilmenge.
