Beweis
Die beiden Polynome haben auch aufgefasst in
keinen gemeinsamen Teiler von positivem Grad. Nach
Fakt
ist daher die
Resultante
.
Die Resultante gehört zum Polynomring
. Es sei
ein Punkt derart, dass
und
eine gemeinsame Nullstelle haben. Dann ist, wiederum nach
Fakt,
und da die Resultante mit dem Ringwechsel
-
verträglich ist,
-
![{\displaystyle {}\operatorname {Res} (f,g)(P)=\operatorname {Res} (f(P,Y),g(P,Y))=0\,.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d818b91450ba5d4b9983431b28c7bcf735d959f)
Also sind die Punkte
, für die
und
eine gemeinsame Nullstelle haben, selbst Nullstelle der von
verschiedenen Resultante, liegen also in einer echten abgeschlossenen Teilmenge.