Polynomiale Abbildung/Kritische Punkte/Kreis/Aufgabe/Lösung
Erscheinungsbild
- Die beiden Punkte und werden beide auf abgebildet, die Abbildung ist also nicht injektiv.
- Wir machen den Ansatz
Aus der zweiten Gleichung folgt (wegen )
und daraus mit der ersten Gleichung
Die Ableitung dieser Funktion nach ist
Dies ist stets positiv, da alle drei Summanden positiv sind. D.h. ist streng wachsend und so kann es zu gegebenem höchstens eine Lösung für geben, was wegen der ersten Bedingung auch eindeutig festlegt.
- Die Jacobi-Matrix ist
- Die Determinante der Jacobi-Matrix ist
Ein kritischer Punkt liegt genau dann vor, wenn diese Determinante ist, was also bei
der Fall ist. Daher bilden die kritischen Punkten den Einheitskreis.
- Die Abbildung ist auf dem Rechteck injektiv und darauf überall regulär, daher ist nach
Fakt