Polynomring/2 Variablen/Idealprodukt/Keine Kürzung/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}K[X,Y]$ der Polynomring in zwei Variablen und  ${}{\mathfrak {m}}=(X,Y)$.  Zeige

${}{\mathfrak {m}}\cdot {\mathfrak {m}}^{2}={\mathfrak {m}}\cdot (X^{2},Y^{2})\,.$

Man folgere, dass die gebrochenen Ideale ${}\neq 0$ zu diesem Ring keine Gruppe bezüglich der Multiplikation von Idealen bilden kann.

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