Polynomring/Algebraisch abgeschlossen/Polynom/Erweiterung/Ableitung/Verzweigung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden Fakt auf die endliche Erweiterung ${}K[Y]\subseteq K[Y][X]/(Y-P(X))$ an. Da ${}K$ algebraisch abgeschlossen ist, ist ${}K$ vollkommen und der Restekörper zu jedem maximalen Ideal ist gleich ${}K$. Verzweigung oberhalb von ${}(Y-b)$ ist also die Frage, ob ${}F=Y-P(X)$ und ${}F'=-P'(X)$ im Restekörper teilerfremd sind. Dabei ist ${}Y$ als ${}b$ zu interpretieren, es geht also darum, ob ${}P(X)-b$ und ${}P'(X)$ teilerfremd sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn diese beiden Polynome keine gemeinsame Nullstelle in ${}K$ besitzen.

Zur bewiesenen Aussage