Polynomring/Algebraisch abgeschlossen/Polynom/Erweiterung/Ableitung/Verzweigung/Fakt/Beweis

Beweis

Wir wenden Fakt auf die endliche Erweiterung  $K[Y]\subseteq K[Y][X]/(Y-P(X))$  an. Da $K$ algebraisch abgeschlossen ist, ist $K$ vollkommen und der Restekörper zu jedem maximalen Ideal ist gleich $K$. Verzweigung oberhalb von $(Y-b)$ ist also die Frage, ob $F=Y-P(X)$ und $F^{\prime }=-P^{\prime }(X)$ im Restekörper teilerfremd sind. Dabei ist $Y$ als $b$ zu interpretieren, es geht also darum, ob $P(X)-b$ und $P^{\prime }(X)$ teilerfremd in $K[X]$ sind. Dies ist genau dann der Fall, wenn diese beiden Polynome keine gemeinsame Nullstelle in $K$ besitzen.

Zur bewiesenen Aussage