Polynomring/Algebraisch abgeschlossen/Polynom/Erweiterung/Ableitung/Verzweigung/Fakt

Es sei $K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper,  $P\in K[X]$  ein nichtkonstantes Polynom und

$K[Y]⟶K[X]\cong K[Y][X]/(Y-P(X)),Y⟼P(X),$

der zugehörige Einsetzungshomomorphismus.

Dann ist ein Primideal $(X-a)$ genau dann verzweigt, wenn  $P^{\prime }(a)=0$  ist, und über einem Primideal $(Y-b)$ liegt genau dann Verzweigung vor, wenn es ein  $a\in K$  mit  $P(a)=b$  und  $P^{\prime }(a)=0$  gibt.

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen