Polynomring/Eine Variable/Kommutativer Ring/Grad/Einführung/Textabschnitt

Definition

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

Wenn der Leitkoeffizient ${}a_{n}=1$ ist, so nennt man das Polynom normiert. Dem Nullpolynom wird im Allgemeinen kein Grad zugewiesen; manchmal sind gewisse Gleichungen oder Bedingungen aber auch so zu verstehen, dass dem Nullpolynom jeder Grad zugewiesen wird. Polynome vom Grad ${}0$ heißen konstante Polynome, Polynome vom Grad ${}1$ heißen lineare Polynome und Polynome vom Grad ${}2$ heißen quadratische Polynome.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}R[X]$ der Polynomring über ${}R$. Dann gelten für den Grad folgende Aussagen.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}$
2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)\leq \operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)$
3. Wenn ${}R$ ein Integritätsbereich ist, so gilt in (2) die Gleichheit.

Beweis

Siehe Aufgabe.

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