Polynomring/Eine Variable/Lokalisiert/Diskreter Bewertungsring/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring und ${}R=K[X]_{(X)}$ die Lokalisierung am maximalen Ideal ${}{\mathfrak {m}}=(X)$. Dann ist ${}R$ ein diskreter Bewertungsring. Die beiden einzigen Primideale von ${}R$ sind ${}(0)\subset (X)$, und ein Hauptidealbereich liegt vor, da ja ${}K[X]$ ein Hauptidealbereich ist. Da es nur ein maximales Ideal gibt, kann es bis auf Assoziiertheit auch nur ein Primelement geben, nämlich ${}X$.