Polynomring/Hyperfläche/Untergrad/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung hat ${}F$ die Gestalt

${}F=F_{m}+F_{m+1}+\cdots \,.$

Es sei  ${}{\mathfrak {a}}=(X_{1},\ldots ,X_{n})$  das maximale Ideal im Polynomring  ${}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$.  Dabei gilt

${}F\in {\mathfrak {a}}^{m}\,.$

Für ein weiteres Polynom  ${}G\in {\mathfrak {a}}^{d-m}$  (mit $d\geq m$) ist  ${}GF\in {\mathfrak {a}}^{d}$.  Daher liegt eine kurze exakte Sequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{d-m}\,{\stackrel {\cdot F}{\longrightarrow }}\,S/{\mathfrak {a}}^{d}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,S/({\mathfrak {a}}^{d},F)=R/{\mathfrak {m}}^{d}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Die Dimension von ${}S/{\mathfrak {a}}^{d}$ ist nach Aufgabe gleich

${}{\binom {d-1+n}{n}}={\frac {(d+n-1)\cdots d}{n!}}={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}\,.$

Daher ergibt sich für  ${}d\geq m$  die Gleichheit

${}{\begin{aligned}\dim(R/{\mathfrak {m}}^{d})&={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}-{\frac {(d-m)^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}(d-m)^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {d^{n}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}-{\frac {d^{n}-nmd^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}d^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {nmd^{n-1}+\cdots }{n!}}\\&={\frac {md^{n-1}+\cdots }{(n-1)!}}.\end{aligned}}$

Dies ist die Behauptung.

Zur bewiesenen Aussage