Polynomring/Hyperfläche/Untergrad/Hilbert-Samuel-Multiplizität/Fakt/Beweis

Beweis

Nach Voraussetzung hat $F$ die Gestalt

F = F_{m} + F_{m + 1} + \dots .

Es sei $𝔞 = (X_{1}, \dots, X_{n})$ das maximale Ideal im Polynomring $S = K [X_{1}, \dots, X_{n}]$ . Dabei gilt

F \in 𝔞^{m} .

Für ein weiteres Polynom $G \in 𝔞^{d - m}$ (mit $d \geq m$ ) ist $G F \in 𝔞^{d}$ . Daher liegt eine kurze exakte Sequenz

0 \overset{}{⟶} S / 𝔞^{d - m} \overset{\cdot F}{⟶} S / 𝔞^{d} \overset{}{⟶} S / (𝔞^{d}, F) = R / 𝔪^{d} \overset{}{⟶} 0

vor. Dabei folgt die Injektivität links aus einer direkten Gradbetrachtung (siehe Aufgabe). Die Dimension von $S / 𝔞^{d}$ ist nach Aufgabe gleich

(\binom{d - 1 + n}{n}) = \frac{(d + n - 1) \dots d}{n!} = \frac{d^{n} + \frac{n (n - 1)}{2} d^{n - 1} + \dots}{n!} .

Daher ergibt sich für $d \geq m$ die Gleichheit

\begin{matrix} \dim (R / 𝔪^{d}) & = \frac{d^{n} + \frac{n (n - 1)}{2} d^{n - 1} + \dots}{n!} - \frac{(d - m)^{n} + \frac{n (n - 1)}{2} (d - m)^{n - 1} + \dots}{n!} \\ = \frac{d^{n} + \frac{n (n - 1)}{2} d^{n - 1} + \dots}{n!} - \frac{d^{n} - n m d^{n - 1} + \frac{n (n - 1)}{2} d^{n - 1} + \dots}{n!} \\ = \frac{n m d^{n - 1} + \dots}{n!} \\ = \frac{m d^{n - 1} + \dots}{(n - 1)!} . \end{matrix}

Dies ist die Behauptung.