Polynomring/n/Multiplizität/Multiplikation/Aufgabe

Es sei  $F=F_m+\cdots +F_r$  die homogene Zerlegung eines Polynoms  $F\in K[X_1,\dots ,X_n]$  mit  $m\le r$  und es sei  $𝔪=(X_1,\dots ,X_n)$.  Zeige, dass für jedes  $d\ge m$  die Multiplikationsabbildung

$K[X_1,\dots ,X_n]⟶K[X_1,\dots ,X_n],G⟼FG,$

einen injektiven, wohldefinierten $K[X_1,\dots ,X_n]$-Modulhomomorphismus

$K[X_1,\dots ,X_n]/{𝔪}^{d-m}⟶K[X_1,\dots ,X_n]/{𝔪}^d$

festlegt.

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