Polynomring/Körper/Krulldimension/Fakt/Beweis2

Beweis

Die Primidealkette

${}0\subset (X_{1})\subset (X_{1},X_{2})\subset \ldots \subset (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})\,$

zeigt, dass die Dimension des Polynomringes zumindest ${}n$ ist. Wir zeigen die andere Abschätzung durch Induktion nach ${}n$, wobei der Induktionsanfang klar ist, da ${}K[X]$ nach Fakt ein Hauptidealbereich ist und Hauptidealbereiche, die keine Körper sind, die Dimension ${}1$ besitzen. Es sei

${}0\subset {\mathfrak {p}}_{1}\subset \ldots \subset {\mathfrak {p}}_{m}\,$

eine Primidealkette in ${}K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Wir betrachten

${}S=K[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {p}}_{1}\,.$

Die Restklassen der ${}X_{i}$ sind algebraisch abhängig über ${}K$. Andererseits gibt es nach Fakt algebraisch unabhängige Elemente

${}f_{1},\ldots ,f_{r}\in S\,$

derart, dass

${}K[f_{1},\ldots ,f_{r}]\subseteq S\,$

endlich ist. Dabei muss ${}r<n$ gelten. Nach der Induktionsvoraussetzung besitzt die (zum Polynomring in ${}r$ Variablen isomorphe ${}K$-Algebra) die Dimension ${}r$. Nach Fakt ist die Dimension von ${}S$ ebenfalls gleich ${}r$. Somit ist ${}m-1\leq r<n$ und also ${}m\leq n$.

Zur bewiesenen Aussage