Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers/Bemerkung

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Zu gegebenen Polynomen lässt sich sowohl der größte gemeinsame Teiler bestimmen als auch eine Darstellung

wie in Fakt explizit angegeben. Dazu kann man sich auf beschränken. Es sei der Grad von mindestens so groß wie der Grad von . Die Division mit Rest liefert

mit einem Restpolynom, dessen Grad kleiner als der Grad von ist bzw. das ist. Entscheidend ist, dass die Ideale

und damit der größte gemeinsame Teiler von und und von und übereinstimmen. Nun führt man die Division mit Rest durch, bei der durch mit dem Rest geteilt wird, wobei wiederum das Ideal mit dem Ausgangsideal übereinstimmt. So erhält man eine Folge von Restpolynomen

wobei zwei benachbarte Reste das gleiche Ideal erzeugen. Es ist dann (also der letzte von verschiedene Rest) der größte gemeinsame Teiler von und . Eine Darstellung von als Linearkombination der erhält man, indem man die Gleichungen, die die Division mit Rest beschreiben, von unten nach oben zurückarbeitet.