Polynomring/Körper/Lemma von Bezout/Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers/Bemerkung

Zu gegebenen Polynomen ${}P_{1},\ldots ,P_{n}\in K[X]$ lässt sich sowohl der größte gemeinsame Teiler ${}G$ bestimmen als auch eine Darstellung

${}G=Q_{1}P_{1}+\cdots +Q_{n}P_{n}\,$

wie in Fakt explizit angegeben. Dazu kann man sich auf ${}n=2$ beschränken. Es sei der Grad von ${}P_{1}$ mindestens so groß wie der Grad von ${}P_{2}$. Die Division mit Rest liefert

${}P_{1}=P_{2}H_{2}+R_{2}\,$

mit einem Restpolynom, dessen Grad kleiner als der Grad von ${}P_{2}$ ist bzw. das ${}0$ ist. Entscheidend ist, dass die Ideale

${}(P_{1},P_{2})=(P_{2},R_{2})\,$

und damit der größte gemeinsame Teiler von ${}P_{1}$ und ${}P_{2}$ und von ${}P_{2}$ und ${}R_{2}$ übereinstimmen. Nun führt man die Division mit Rest durch, bei der ${}P_{2}$ durch ${}R_{2}$ mit dem Rest ${}R_{3}$ geteilt wird, wobei wiederum das Ideal ${}(R_{2},R_{3})$ mit dem Ausgangsideal übereinstimmt. So erhält man eine Folge von Restpolynomen

$R_{0}=P_{1},R_{1}=P_{2},R_{2},\ldots ,R_{k}\neq 0,0,$

wobei zwei benachbarte Reste das gleiche Ideal erzeugen. Es ist dann ${}R_{k}$ (also der letzte von ${}0$ verschiedene Rest) der größte gemeinsame Teiler von ${}R_{0}$ und ${}R_{1}$. Eine Darstellung von ${}R_{k}$ als Linearkombination der ${}R_{0},R_{1}$ erhält man, indem man die Gleichungen, die die Division mit Rest beschreiben, von unten nach oben zurückarbeitet.