Polynomring/Körper/n Variablen/Direkt/Definition

Polynomring in n Variablen

Zu einem Körper $K$ und einer Variablenmenge $X_1,\dots ,X_n$ besteht der Polynomring

$K[X_1,\dots ,X_n]$

aus allen Polynomen $F(X_1,\dots ,X_n)$ in diesen Variablen, wobei diese Menge durch die komponentenweise Addition und die Multiplikation, die sich durch die distributive Fortsetzung der Regel

$X_1^{r_1}\cdots X_n^{r_n}\cdot X_1^{s_1}\cdots X_n^{s_n}:=X_1^{r_1+s_1}\cdots X_n^{r_n+s_n}$

ergibt, zu einem kommutativen Ring gemacht wird.