Polynomring/Polynom/Endliche Erweiterung/Spur/Beispiel

Es sei $K$ ein Körper und  $f\in K[X]$  ein normiertes Polynom vom Grad $n$. Wir betrachten die endliche freie Ringerweiterung

$K[Y]\subseteq K[Y][X]/(f(X)-Y)\cong K[X]$

mit der $K[Y]$-Basis $1,X,\dots ,X^{n-1}$. Wir sind damit in der Situation von Fakt mit  $R=K[Y]$  und

$F(X)=f(X)-Y.$

Für die Ableitung nach $X$ gilt  $F^{\prime }(X)=f^{\prime }(X)$.  Der Faserring über dem $K$-Punkt  $b\in K$  wird durch $K[X]/(f(X)-b)$ beschrieben. Die passende geometrische Vorstellung zur Spektrumsabbildung dieser Ringerweiterung ist die Projektion des Graphen zu $f$ auf die $y$-Achse. Eine Nullstelle der Ableitung ist ein Verzweigungspunkt dieser Projektion.