Polynomring/Quotientenkörper/Multiplikation mit Zähler durch Nenner von gleichem Grad/Äquivalenzrelation/Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}K[X]$ der Polynomring in der einen Variablen ${}X$ über ${}K$ und  ${}Q=K(X)$  der Quotientenkörper davon, also der Körper der rationalen Funktionen. Auf ${}Q$ definieren wir die Relation

${}f\sim g\,,$

wenn es Polynome ${}R$ und ${}S$ vom gleichen Grad ${}\geq 1$ mit

${}g={\frac {R}{S}}f\,$

gibt.

a) Zeige, dass durch ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation gegeben ist.

b) Bestimme die Äquivalenzklasse zu ${}0$.

c) Es seien  ${}A,B,C,D\in K[X]$  Polynome ${}\neq 0$. Zeige, dass

${}{\frac {A}{B}}\sim {\frac {C}{D}}\,$

genau dann gilt, wenn

${}\operatorname {grad} \,(A)-\operatorname {grad} \,(B)=\operatorname {grad} \,(C)-\operatorname {grad} \,(D)\,.$

d) Zeige, dass jedes ${}f\in Q$, ${}f\neq 0$, einen eindeutig bestimmten Repräsentanten der Form ${}X^{n}$ mit  ${}n\in \mathbb {Z}$  besitzt.

Eine Lösung erstellen