Polynomring/p-te Wurzel aus t/Unverzweigt/Beispiel

Es sei ${}K$ ein Körper der Charakteristik ${}p>0$. Wir betrachten die Ringerweiterung

${}K(t)[Y]\subseteq K(t)[Y][X]/(X^{p}-t)=K(t)[X]/(X^{p}-t)[Y]\cong K(x)[Y]\,,$

die Erweiterung spielt sich also im Wesentlichen im Grundkörper ab. Es ist

${}(X^{p}-t)'=pX^{p-1}=0\,,$

deshalb sind das beschreibende Polynom und seine Ableitung nirgendwo teilerfremd. Dennoch ist

$K(t)[Y]_{(Y)}\longrightarrow K(x)[Y]_{(Y)}$

unverzweigt, da ${}Y$ in beiden Ringen die Ortsuniformisierende ist. Dies zeigt auch, dass Fakt ohne die Voraussetzung über die Perfektheit nicht gilt.