Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den
Grad
von . Wenn der Grad von größer als der Grad von ist, so ist
und
eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei
ist nach der Vorbemerkung auch
,
also ist ein konstantes Polynom, und damit ist
(da
und ein Körper ist)
und
eine Lösung. Es sei nun
und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben
und
mit . Dann gilt mit
die Beziehung
Dieses Polynom hat einen Grad kleiner als und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt
und
mit
-
Daraus ergibt sich insgesamt
-
sodass also
und
eine Lösung ist.
Zur Eindeutigkeit sei
mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist
.
Da die Differenz einen Grad kleiner als besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei
und
lösbar.