Polynomring über Körper/Eine Variable/Division mit Rest/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Wir beweisen die Existenzaussage durch Induktion über den Grad von $P$. Wenn der Grad von $T$ größer als der Grad von $P$ ist, so ist $Q=0$ und $R=P$ eine Lösung, sodass wir dies nicht weiter betrachten müssen. Bei  $\mathrm{grad}(P)=0$  ist nach der Vorbemerkung auch  $\mathrm{grad}(T)=0$,  also ist $T$ ein konstantes Polynom, und damit ist (da $T\ne 0$ und $K$ ein Körper ist) $Q=P/T$ und $R=0$ eine Lösung. Es sei nun  $\mathrm{grad}(P)=n$  und die Aussage für kleineren Grad schon bewiesen. Wir schreiben $P=a_n{X}^n+\cdots +a_{1}X+a_0$ und $T=b_k{X}^k+\cdots +b_{1}X+b_0$ mit $a_n,b_k\ne 0,k\le n$. Dann gilt mit  $H=\frac{a_n}{b_k}{X}^{n-k}$  die Beziehung

$\begin{array}{cc}{P}^{\prime }& :=P-TH\\ \\ & =0X^n+(a_{n-1}-\frac{a_n}{b_k}{b}_{k-1})X^{n-1}+\cdots +(a_{n-k}-\frac{a_n}{b_k}{b}_0)X^{n-k}+a_{n-k-1}{X}^{n-k-1}+\cdots +a_0.\end{array}$

Dieses Polynom $P^{\prime }$ hat einen Grad kleiner als $n$ und darauf können wir die Induktionsvoraussetzung anwenden, d.h. es gibt $Q^{\prime }$ und $R^{\prime }$ mit

$P^{\prime }=T{Q}^{\prime }+R^{\prime }\text{ mit }\mathrm{grad}(R^{\prime })<\mathrm{grad}(T)\text{ oder }{R}^{\prime }=0.$

Daraus ergibt sich insgesamt

$P=P^{\prime }+TH=T{Q}^{\prime }+TH+R^{\prime }=T(Q^{\prime }+H)+R^{\prime },$

sodass also  $Q=Q^{\prime }+H$  und  $R=R^{\prime }$  eine Lösung ist. Zur Eindeutigkeit sei  $P=TQ+R=T{Q}^{\prime }+R^{\prime }$  mit den angegebenen Bedingungen. Dann ist  $T(Q-Q^{\prime })=R^{\prime }-R$.  Da die Differenz $R^{\prime }-R$ einen Grad kleiner als $\mathrm{grad}(T)$ besitzt, ist aufgrund der Gradeigenschaften diese Gleichung nur bei  $R=R^{\prime }$  und  $Q=Q^{\prime }$ 

lösbar.

Zur gelösten Aufgabe