Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/2/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Es sei ${}I$ ein von ${}0$ verschiedenes Ideal in ${}K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge

${\left\{\operatorname {grad} \,(P)\mid P\in I,\,P\neq 0\right\}}.$

Diese Menge hat ein Minimum  ${}m\in \mathbb {N}$,  das von einem Element ${}F\in I$, ${}F\neq 0$, herrührt, sagen wir  ${}m=\operatorname {grad} \,(F)$.  Wir behaupten, dass  ${}I=(F)$  ist. Die Inklusion ${}\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von ${}\subseteq$ sei  ${}P\in I$  gegeben. Aufgrund von Fakt gilt

$P=FQ+R{\text{ mit }}\operatorname {grad} \,(R)<\operatorname {grad} \,(F){\text{ oder }}R=0.$

Wegen  ${}R\in I$  und der Minimalität von ${}\operatorname {grad} \,(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist  ${}R=0$ 

und ${}P$ ist ein Vielfaches von ${}F$.

Zur gelösten Aufgabe