Polynomring über Körper/Eine Variable/Hauptidealbereich/Fakt/Beweis

Beweis

Es sei $I$ ein von $0$ verschiedenes Ideal in $K[X]$. Betrachte die nichtleere Menge

$\{\mathrm{grad}(P)\mid P\in I,P\ne 0\}.$

Diese Menge hat ein Minimum  $m\in \mathbb{N}$,  das von einem Element $F\in I$, $F\ne 0$, herrührt, sagen wir  $m=\mathrm{grad}(F)$.  Wir behaupten, dass  $I=(F)$  ist. Die Inklusion $\supseteq$ ist klar. Zum Beweis von $\subseteq$ sei  $P\in I$  gegeben. Aufgrund von Fakt gilt

$P=FQ+R\text{ mit }\mathrm{grad}(R)<\mathrm{grad}(F)\text{ oder }R=0.$

Wegen  $R\in I$  und der Minimalität von $\mathrm{grad}(F)$ kann der erste Fall nicht eintreten. Also ist  $R=0$  und $P$ ist ein Vielfaches von $F$.

Zur bewiesenen Aussage