Polynomring zwei Variablen/Multiplikatives System/Eine Gleichung/Verträglichkeit/Aufgabe/Lösung

Alle Homomorphismen sind im Folgenden ${}R$-Algebrahomomorphismen und durch ihre Eigenschaften eindeutig festgelegt. Es gibt zunächst den Homomorphismus ${}R\rightarrow R_{S}$ und daher einen induzierten Homomorphismus

$R/(F)\longrightarrow R_{S}/(F).$

Da das Bild von ${}S$ in ${}R/(F)$ in ${}R_{S}/(F)$ zu Einheiten werden, induziert dies einen Homomorphismus

$(R/(F))_{S}\longrightarrow R_{S}/(F).$

Dabei geht explizit ein Element ${}{\frac {\bar {r}}{\bar {s}}}$ auf ${}{\overline {({\frac {r}{s}})}}$. Zur Surjektivität: Ein Element rechts wird repräsentiert durch ${}r/s$ mit ${}s\in S$, und das kommt von ${}{\frac {\bar {r}}{\bar {s}}}$ her. Zur Injektivität sei angenommen, dass ${}{\frac {\bar {r}}{\bar {s}}}$ auf ${}0$ geht. Dann ist ${}r/s\in (F)R_{S}$, also ${}r/s=Fa/t$ mit ${}a\in R,\,t\in S$. Die Gleichheit bedeutet zurückübersetzt nach ${}R$, dass

${}tr=sFa\,$

gilt. D.h. dass ${}tr=0$ in ${}R/(F)$ ist und wegen ${}t\in S$ folgt daraus, dass ${}{\bar {r}}=0$ in ${}(R/(F))_{S}$ ist.

Zur gelösten Aufgabe