Potenzreihe/R/Konvexitätsverhalten/Aufgabe

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein offenes Intervall, ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R}$ eine durch eine Potenzreihe gegebene Funktion und ${}a\in I$. Zeige, dass es ein ${}\epsilon >0$ derart gibt, dass ${}f$ eine der folgenden Möglichkeiten erfüllt.

1. ${}f$ ist auf ${}[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ konvex.
2. ${}f$ ist auf ${}[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ konkav.
3. ${}f$ ist auf ${}[a-\epsilon ,a]$ konvex und auf ${}[a,a+\epsilon ]$ konkav.
4. ${}f$ ist auf ${}[a-\epsilon ,a]$ konkav und auf ${}[a,a+\epsilon ]$ konvex.

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