Potenzreihe/R/Konvexitätsverhalten/Aufgabe/Lösung

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Nach Fakt ist beliebig oft differenzierbar. Es sei zunächst

Dann gibt es ein derart, dass positiv auf ganz ist. Dann ist nach Fakt wachsend und somit ist nach Fakt konvex.

Bei

führt die entsprechende Argumentation dazu, dass in einer Umgebung konkav ist.

Es sei nun

Wenn die Nullfunktion ist, so ist affin-linear und dann ist sowohl konvex als auch konkav. Es sei also nicht die Nullfunktion. Dann gibt es eine offene -Umgebung von derart, dass dort die einzige Nullstelle ist. Dann ist auf und auf jeweils entweder positiv oder negativ. Daraus folgt jeweils die Konvexität oder die Konkavität wie zuvor.