Potenzreihe/R/Konvexitätsverhalten/Aufgabe/Lösung

Nach Fakt ist ${}f$ beliebig oft differenzierbar. Es sei zunächst

${}f^{\prime \prime }(a)>0\,.$

Dann gibt es ein ${}\epsilon >0$ derart, dass ${}f^{\prime \prime }$ positiv auf ganz ${}[a-\epsilon ,a+\epsilon ]$ ist. Dann ist ${}f'$ nach Fakt wachsend und somit ist ${}f$ nach Fakt konvex.

Bei

${}f^{\prime \prime }(a)<0\,$

führt die entsprechende Argumentation dazu, dass ${}f$ in einer Umgebung konkav ist.

Es sei nun

${}f^{\prime \prime }(a)=0\,.$

Wenn ${}f^{\prime \prime }$ die Nullfunktion ist, so ist ${}f$ affin-linear und dann ist ${}f$ sowohl konvex als auch konkav. Es sei also ${}f^{\prime \prime }$ nicht die Nullfunktion. Dann gibt es eine offene ${}\epsilon$-Umgebung von ${}a$ derart, dass dort ${}a$ die einzige Nullstelle ist. Dann ist ${}f^{\prime \prime }$ auf ${}[a-\epsilon ,a[$ und auf ${}]a,a+\epsilon ]$ jeweils entweder positiv oder negativ. Daraus folgt jeweils die Konvexität oder die Konkavität wie zuvor.

Zur gelösten Aufgabe