Potenzreihen/Gleiche Variable/Cauchyprodukt/Fakt/Beweis/Aufgabe/Lösung

Der ${}i$-te Summand der Reihe links ist

${}d_{i}=a_{i}z^{i}\,$

und der ${}j$-te Summand der Reihe rechts ist

${}e_{j}=b_{j}z^{j}\,.$

Damit ist der ${}k$-te Summand des Cauchy-Produktes der beiden Reihen gleich

${}{\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{i=0}^{k}d_{i}e_{k-i}\\&=\sum _{i=0}^{k}a_{i}z^{i}b_{k-i}z^{k-i}\\&=\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}z^{i}z^{k-i}\\&={\left(\sum _{i=0}^{k}a_{i}b_{k-i}\right)}z^{k}.\end{aligned}}$

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