Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Vielfachklassen/Keine trennenden Ausdrücke/Beispiel

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Es sei das Symbolalphabet, das außer Variablen für jedes ein einstelliges Relationssymbol enthält, und es sei

Wir betrachten die Menge , wobei wir das Relationssymbol durch

interpretieren. Zwei Elemente

können dann nicht elementar äquivalent sein, da sie sich nicht gegenseitig teilen können und daher beispielsweise , also , aber nicht , also , gilt. Die Äquivalenzklassen sind also einelementig. Es ist aber nicht möglich, diese Klassen durch einen Ausdruck in dieser Sprache zu charakterisieren, da die Gültigkeitsmengen zu jedem Ausdruck entweder leer sind oder unendlich viele Elemente enthalten, siehe Aufgabe.