Prädikatenlogik/Elementare Äquivalenz/Vielfachklassen/Keine trennenden Ausdrücke/Beispiel/Gemeinsames Vielfaches/Aufgabe

Es sei ${}S$ das Symbolalphabet, das außer Variablen für jedes ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ ein einstelliges Relationssymbol ${}R_{k}$ enthält. Wir betrachten die Menge ${}M=\mathbb {N} _{+}$, wobei wir das Relationssymbol ${}R_{k}$ durch

$R_{k}^{M}(n){\text{ genau dann, wenn }}n{\text{ ein Vielfaches von }}k{\text{ ist }}$

interpretieren. Es sei ${}\alpha \in L^{S}$ ein Ausdruck in einer freien Variablen ${}x$, wobei in ${}\alpha$ die Relationssymbole ${}R_{k_{1}},\ldots ,R_{k_{m}}$ vorkommen mögen. Es sei ${}k$ das kleinste gemeinsame Vielfache von ${}k_{1},\ldots ,k_{m}$. Zeige, dass

$M{\frac {n}{x}}\vDash \alpha$

genau dann gilt, wenn

$M{\frac {n+k}{x}}\vDash \alpha$

gilt.

Eine Lösung erstellen