Prädikatenlogik/Koinzidenzlemma/Fakt

Koinzidenzlemma

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet erster Stufe und  ${}U\subseteq S$  eine Teilmenge. Es sei ${}t$ ein ${}U$-Term und ${}\alpha$ ein ${}U$-Ausdruck. Es seien zwei ${}S$-Interpretationen ${}I_{1}$ und ${}I_{2}$ in einer gemeinsamen Grundmenge ${}M$ gegeben, die auf ${}U$ identisch seien. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist  ${}I_{1}(t)=I_{2}(t)$. 
2. Es ist ${}I_{1}\vDash \alpha$ genau dann, wenn ${}I_{2}\vDash \alpha$ (dazu genügt bereits, dass die Interpretationen auf den Symbolen aus ${}U$ und auf den in ${}\alpha$ frei vorkommenden Variablen identisch sind).

Zum Beweis, Alternativen Beweis erstellen