Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Endliche Permutation/Beispiel

Es sei $S$ ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol $f$ besteht und es sei  $M=\{1,\dots ,6\}$  eine $S$-Struktur, wobei $f$ als die Permutation $\pi$ mit

$x$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$\pi (x)$	$3$	$5$	$1$	$4$	$6$	$2$

interpretiert werde. Hier sind die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz gleich der sogenannten Zykelzerlegung, nämlich gleich $\{1,3\}$, $\{2,5,6\}$ und $\{4\}$. Die Ordnung der Elemente kann man in der Sprache zu $S$ ausdrücken und erhält dadurch trennende Ausdrücke, beispielsweise ist  $fx=x$  ein Ausdruck in der einen freien Variablen $x$, der genau dann wahr wird, wenn $x$ durch $4$ belegt wird. Der Ausdruck

$(ffx=x)\wedge \mathrm{\neg }(fx=x)$

ist ein Ausdruck, der genau dann wahr wird, wenn $x$ durch $1$ oder $3$ belegt wird, usw. Dass $1$ oder $3$ zueinander elementar äquivalent sind, sieht man am einfachsten, wenn man den Automorphismus betrachtet, der durch die Transposition $1\leftrightarrow 3$ gegeben ist. Dieser ist nämlich ein $S$-Automorphismus und daher können wir den Isomorphiesatz anwenden.