Prädikatenlogik/Modell/Elementare Äquivalenz für Elemente/Endliche Permutation/Beispiel

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet, das neben Variablen aus einem einzigen einstelligen Funktionssymbol ${}f$ besteht und es sei ${}M=\{1,\ldots ,6\}$ eine ${}S$-Struktur, wobei ${}f$ als die Permutation ${}\pi$ mit

${}x$	${}1$	${}2$	${}3$	${}4$	${}5$	${}6$
${}\pi (x)$	${}3$	${}5$	${}1$	${}4$	${}6$	${}2$

interpretiert werde. Hier sind die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz gleich der sogenannten Zykelzerlegung, nämlich gleich ${}\{1,3\}$, ${}\{2,5,6\}$ und ${}\{4\}$. Die Ordnung der Elemente kann man in der Sprache zu ${}S$ ausdrücken und erhält dadurch trennende Ausdrücke, beispielsweise ist ${}fx=x$ ein Ausdruck in der einen freien Variablen ${}x$, der genau dann wahr wird, wenn ${}x$ durch ${}4$ belegt wird. Der Ausdruck

${\left(ffx=x\right)}\wedge \neg {\left(fx=x\right)}$

ist ein Ausdruck, der genau dann wahr wird, wenn ${}x$ durch ${}1$ oder ${}3$ belegt wird, u.s.w. Dass ${}1$ oder ${}3$ zueinander elementar äquivalent sind, sieht man am einfachsten, wenn man den Automorphismus betrachtet, der durch die Transposition ${}1\leftrightarrow 3$ gegeben ist. Dieser ist nämlich ein ${}S$-Automorphismus und daher können wir den Isomorphiesatz anwenden.