Prädikatenlogik/Modellkonstruktion/Relationsäquivalenz/Semantisch und syntaktisch/Aufgabe

Es sei ${}S$ ein Symbolalphabet und ${}L^{S}$ die zugehörige Sprache. Es sei ${}\Gamma \subseteq L^{S}$ eine Ausdrucksmenge. Zu fixiertem ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ sei ${}R_{n}$ die Menge der ${}n$-stelligen Relationssymbole in ${}S$. Zeige die folgenden Aussagen.

1. Durch

   $P\cong Q\,,{\text{ falls }}I(P)=I(Q){\text{ für alle Interpretationen }}I{\text{ mit }}I\vDash \Gamma$

   wird eine Äquivalenzrelation auf ${}R_{n}$ definiert.

2. Durch

   $P\simeq Q\,,{\text{ falls }}\Gamma \vdash \forall x_{1}\forall x_{2}\ldots \forall x_{n}{\left(Px_{1}\ldots x_{n}\leftrightarrow Qx_{1}\ldots x_{n}\right)}$

   wird eine Äquivalenzrelation auf ${}R_{n}$ definiert.

3. Die Äquivalenzrelation ${}\simeq$ impliziert die Äquivalenzrelation ${}\cong$.
4. Es sei ${}\sim$ die zu ${}\Gamma$ gehörende Äquivalenzrelation auf der Termmenge im Sinne von Bemerkung. Dann gilt für Terme mit ${}s_{1}\sim t_{1},\ldots ,s_{n}\sim t_{n}$ und Relationsssymbole ${}P,Q\in R_{n}$ mit ${}P\simeq Q$ die Beziehung

   $\Gamma \vdash Ps_{1}\ldots s_{n}\leftrightarrow Qt_{1}\ldots t_{n}.$

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