Logik/Vollständigkeitssatz/Modellkonstruktion/Konstruktion

Es sei ${}\Gamma$ eine Menge an ${}S$-Ausdrücken (über einem Symbolalphabet ${}S$), die abgeschlossen unter Ableitungen ist. Dann definiert man auf der Menge aller ${}S$-Terme eine Äquivalenzrelation durch

$t\sim s{\text{ genau dann, wenn der Ausdruck }}t=s{\text{ zu }}\Gamma {\text{ gehört}}.$

Es sei ${}M$ die Menge der Termklassen (also die Menge der Äquivalenzklassen zu dieser Äquivalenzrelation). Auf ${}M$ definiert man für jedes ${}n$-stellige Relationssymbol ${}R$ eine ${}n$-stellige Relation ${}R^{M}$ durch

$R^{M}([t_{1}],[t_{2}],\ldots ,[t_{n}]){\text{ genau dann, wenn der Ausdruck }}Rt_{1}t_{2}\cdots t_{n}{\text{ zu }}\Gamma {\text{ gehört}}$

und für jedes ${}n$-stellige Funktionssymbol ${}f$ eine ${}n$-stellige Funktion ${}f^{M}$ durch

${}f^{M}([t_{1}],[t_{2}],\ldots ,[t_{n}]):=[ft_{1}t_{2}\cdots t_{n}]\,.$

Konstanten werden als

${}c^{M}:=[c]\,$

interpretiert.