Prädikatenlogik/Rang eines Ausdrucks/Definition

Rang (Ausdruck)

Es sei ein Alphabet einer Sprache erster Stufe gegeben. Dann definiert man für Ausdrücke  ${}\alpha \in L^{S}$  den Rang ${}\rho$ von ${}\alpha$ durch

1.  ${}\rho (\alpha )=0$,  falls ${}\alpha$ atomar ist.
2.  ${}\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$,  falls  ${}\alpha =\neg (\beta )$  ist.
3.  ${}\rho (\alpha )=\rho (\beta )+\rho (\gamma )+1$,  falls  ${}\alpha =(\beta )\circ (\gamma )$  mit  ${}\circ =\wedge ,\,\vee ,\,\rightarrow ,\leftrightarrow$  ist.
4.  ${}\rho (\alpha )=\rho (\beta )+1$,  falls  ${}\alpha =\exists x\beta$  oder  ${}\alpha =\forall x\beta$  ist.