Die Variablensubstitution definiert man rekursiv über den Aufbau der
S
{\displaystyle {}S}
-Ausdrücke .
Für Terme
s
1
,
s
2
{\displaystyle {}s_{1},s_{2}}
setzt man
(
s
1
=
s
2
)
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
:=
s
1
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
=
s
1
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
.
{\displaystyle (s_{1}=s_{2}){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=s_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}=s_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}.}
Für ein
n
{\displaystyle {}n}
-stelliges Relationssymbol
R
{\displaystyle {}R}
und
n
{\displaystyle {}n}
Terme
s
1
,
…
,
s
n
{\displaystyle {}s_{1},\ldots ,s_{n}}
setzt man
(
R
s
1
…
s
n
)
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
:=
R
s
1
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
…
s
n
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
.
{\displaystyle (Rs_{1}\ldots s_{n}){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=Rs_{1}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\ldots s_{n}{\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}.}
Für einen Ausdruck
α
{\displaystyle {}\alpha }
setzt man
(
¬
α
)
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
:=
¬
α
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
.
{\displaystyle (\neg \alpha ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=\neg \alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}.}
Für Ausdrücke
α
{\displaystyle {}\alpha }
und
β
{\displaystyle {}\beta }
setzt man
(
α
∧
β
)
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
:=
α
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
∧
β
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
{\displaystyle (\alpha \wedge \beta ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=\alpha {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}\wedge \beta {\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}}
und ebenso für die anderen zweistelligen Junktoren.
Für einen Ausdruck
α
{\displaystyle {}\alpha }
seien
x
i
1
,
…
,
x
i
r
{\displaystyle {}x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{r}}}
diejenigen Variablen
(unter den
x
1
,
…
,
x
k
{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}
),
die in
∀
x
α
{\displaystyle {}\forall x\alpha }
frei vorkommen. Es sei
v
=
x
{\displaystyle {}v=x}
, falls
x
{\displaystyle {}x}
nicht in
t
i
1
,
…
,
t
i
r
{\displaystyle {}t_{i_{1}},\ldots ,t_{i_{r}}}
vorkommt. Andernfalls sei
v
{\displaystyle {}v}
die erste Variable
(in einer fixierten Variablenaufzählung, falls es abzählbar viele Variablen gibt, bzw. in einer fixierten Wohlordnung der Variablenmenge),
die weder in
α
{\displaystyle {}\alpha }
noch in
t
i
1
,
…
,
t
i
r
{\displaystyle {}t_{i_{1}},\ldots ,t_{i_{r}}}
vorkommt. Dann setzt man
(
∀
x
α
)
t
1
,
…
,
t
k
x
1
,
…
,
x
k
:=
∀
v
α
t
i
1
,
…
,
t
i
r
,
v
x
i
1
,
…
,
x
i
r
,
x
{\displaystyle (\forall x\alpha ){\frac {t_{1},\ldots ,t_{k}}{x_{1},\ldots ,x_{k}}}:=\forall v\alpha {\frac {t_{i_{1}},\ldots ,t_{i_{r}},v}{x_{i_{1}},\ldots ,x_{i_{r}},x}}}
und ebenso für den Existenzquantor.