Prägarben/Wert in topologischer Gruppe/Einführung/Textabschnitt

Definition

Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe ${}G$, die zugleich ein topologischer Raum ist derart, dass die Verknüpfung

$G\times G\longrightarrow G,\,(g,h)\longmapsto g\circ h,$

und die Inversenbildung

$G\longrightarrow G,\,g\longmapsto g^{-1},$

stetige Abbildungen sind.

Topologische Gruppen sind ${}(\mathbb {R} ,+)$, ${}(\mathbb {R} \setminus \{0\},\cdot )$, ${}({\mathbb {C} },+)$, ${}({\mathbb {C} }\setminus \{0\},\cdot )$, ${}(\mathbb {R} ^{n},+)$, ${}(S^{1},{\text{ mit der Winkeladdition}})$, die allgemeine lineare Gruppe ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left(\mathbb {R} \right)}$ bzw. ${}\operatorname {GL} _{n}\!{\left({\mathbb {C} }\right)}$, ein komplexer Torus ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$. Man kann jede Gruppe mit der diskreten Topologie zu einer topologischen Gruppe machen.

Zu einem topologischen Raum ${}X$ ist die Mengen der stetigen Abbildungen von ${}X$ in eine topologische Gruppe ${}G$ mit der natürlichen Verknüpfung selbst eine Gruppe. Die Einschränkung auf eine offene Teilmenge von ${}X$ ist dabei ein Gruppenhomomorphismus. Daher ist die Zuordnung

$U\mapsto C^{0}(U,G)$

eine Prägarbe von Gruppen auf ${}X$.