Präring/Äußeres Maß/Fortsetzung auf Potenzmenge/Definition

Fortsetzung eines äußeren Maßes

Es sei ${}M$ eine Menge, ${}{\mathcal {P}}$ ein Präring auf ${}M$ und

$\mu \colon {\mathcal {P}}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

ein äußeres Maß auf ${}M$. Für eine beliebige Teilmenge ${}T\subseteq M$ definiert man

${\tilde {\mu }}(T):=\inf {\left(\sum _{i\in I}\mu (T_{i}),\,T\subseteq \bigcup _{i\in I}T_{i},\,T_{i}\in {\mathcal {P}},\,I{\text{ abzählbar}}\right)}\,$

und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes ${}\mu$.