Beweis
Wir führen Induktion über
, bei
ist die Aussage trivialerweise richtig. Es sei die Aussage für
Primideale bewiesen, und seien
Primideale gegeben. Nach Induktionsvoraussetzung ist
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {b}}\cup \bigcup _{j=1}^{n}{\mathfrak {p}}_{j}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e2f4aa28e684262991ca63580bf4f6a7c861cbf)
sei
und
.
Bei
-
![{\displaystyle {}f\notin {\mathfrak {p}}_{n+1}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb6f95f48e44c5b6fb04238b95bb6ac0ad0698b)
sind wir fertig, sei also
.
Wäre
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c57f52aa351a1c76ab5c8875d38cf22bdba170b2)
so würde nach
Aufgabe
oder
oder
für ein
gelten. In diesen Fällen wären wir aufgrund der Induktionsvoraussetzung fertig. Also ist
-
![{\displaystyle {}{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}\cap {\mathfrak {p}}_{1}\cap \ldots \cap {\mathfrak {p}}_{n}\not \subseteq {\mathfrak {p}}_{n+1}\,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f0f9c3a0891d3a1be1f9d923a8b14ea43c57318)
sei
und
.
Dann ist
und
.